Financiamento pelo Sistema Price

No estudo do financiamento de um bem de consumo, percebe-se que a Matemática Financeira é muito mais útil no nosso cotidiano do que outras "matemáticas". Aqui se vê a força do estudo de sequências geométricas (PG), fato que não é possível explicitar facilmente a alunos de níveis elementares. No entanto, praticamente todos os indivíduos estão envolvidos com compras de bens de consumo no seu dia-a-dia e este ponto se torna fundamental pois transforma o estudo de Progressões Geométricas em algo extremamente útil.

O sistema Price (Richard Price), também chamado Sistema Francês (pois foi a França o primeiro país que utilizou este sistema do ponto de vista comercial), corresponde a um financiamento onde todos os pagamentos sao iguais.

A idéia essencial neste contexto é construir um fluxo de caixa e descobrir o Valor Atual ou Valor Presente de uma série uniforme de pagamentos.

Antes de continuar, iremos mostrar uma situação para identificar o que está escondido sob os cálculos de um financiamento.

Exemplo: Suponhamos que uma pessoa compre um carro para pagar em 4 prestações mensais consecutivas e iguais de R$8.000,00, sem entrada e com taxa de 10% ao mês. Qual será o Valor Atual (real) deste carro?

O que se deve fazer é calcular o valor atual de cada prestação e realizar a soma desses valores para obter o Valor Atual do bem financiado.

A1 = 8000/(1+0,1)1
A2 = 8000/(1+0,1)2
A3 = 8000/(1+0,1)3
A4 = 8000/(1+0,1)4

Assim o Valor Atual será a soma dos valores atuais parciais

A = 8000.(1,1-1 + 1,1-2 + 1,1-3 + 1,1-4)

que pode ser escrito como:

A = 8000 x 3,169865435 = 25.358,92

que é o valor à vista que custa o carro.

Um fato curioso é o aparecimento da expressão:

K = 1,1-1 + 1,1-2 + 1,1-3 + 1,1-4

que representa a soma dos termos de uma sequência geométrica (PG) com 4 termos.

Na sequência, analisaremos a situação geral quando temos n prestações num modelo semelhante, considerando agora um financiamento cujo Valor Atual A na data inicial (tempo=0) será pago em n prestações iguais a R ao final de cada um dos n meses seguidos, a taxas mensais iguais a i.

O problema é similar ao anterior e pode ser resolvido do ponto de vista matemático, como :

A = R[(1+i)-1+(1+i)-2+...+(1+i)-n]

Evidenciando o termo (1+i)-n, segue que:

A = R[1+(1+i)1+...+(1+i)n-1] / (1 +i)n

e o termo dentro dos colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma PG cujo primeiro termo é igual 1 e cuja razão é igual a (1+i).

A fórmula abaixo é a expressão matemática procurada por tantas pessoas para saber como são realizados os cálculos de taxas de juros em financiamentos.

Esta não é uma expressão matemática simples! Quando se conhece a taxa i, o número de períodos n e o valor de cada prestação R é bastante fácil obter o Valor Atual A.

Quando conhecemos o Valor Atual (preço à vista) A, Prestação R e Número de períodos n, não é fácil obter a taxa de juros porque além de ser matematicamente difícil, o governo, as empresas e financeiras em geral, embutem muitas outras taxas a títulos diversos que mascaram o valor real da taxa!

Esta fórmula matemática pode ser escrita como:

A = R FVAs(i,n)

onde FVAs é o Fator de Valor Atual para uma série uniforme, definido por:

Esta é a fórmula utilizada nas tabelas financeiras que encontramos no comércio em geral. Através desta fórmula podemos obter a taxa de um financiamento em prestações com pagamentos iguais.

Para o próximo exemplo, vamos admitir que o dono de uma loja te garantiu o valor certo para a taxa ao período, o que eu não acredito em geral.

Para se calcular o valor da prestação R de um bem cujo preço à vista é A e será pago em n prestações iguais sem entrada, à taxa i ao período, sendo que a primeira prestação será paga no final do primeiro período, divide-se o valor atual A pelo FVAs(i,n), isto é:

R = A / FVAs(i,n)

Exemplo: Determinar a prestação R da compra de uma geladeira que custa à vista A=$1.000,00 e que será paga em 12 meses, sem entrada, com um taxa de 5% ao mês.

Para realizar estes cálculos de uma forma mais simples, acesse nesta mesma página o link Prestação mensal em um financiamento.

Se você souber o Valor à vista A, a prestação R e o número de meses n, você poderá obter a taxa i ao mês, desde que possua uma tabela financeira ou então se tiver acesso ao link Taxa de juros em um financiamento.